On Dufresne’s Translated Perpetuity and Some Black-Scholes Annuities (Sobre la Perpetuidad Trasladada de Dufresne y Algunas Anualidades de Black-Scholes)

Abstract Let $(mathcal{E}_t, tgeq0)$ be a geometric Brownian motion. In this paper, we compute the law of a generalization of Dufresne’s translated perpetuity (following the terminology of Salminen-Yor) : $$ int_0^{+infty} frac{mathcal{E}_s^2}{(mathcal{E}_s^2+2 amathcal{E}_s +b)^2} ds,$$ and show that, in some cases, this perpetuity is identical in law with the first hitting time of a three-dimensional Bessel process with drift.We also study the law of the following pair of annuities $$left(int_0^{t}left(mathcal{E}_s-1 right)^+ ds , quad int_0^{t}left(mathcal{E}_s-1 right)^-ds right)$$ via a Feynman-Kac approach, and discuss some particular cases for which we are able to recover the associated perpetuities. Resumen Sea $(mathcal{E}_t, tgeq0)$ un movimiento geométrico Browniano. En este artículo, calculamos la ley de una generalización de la perpetuidad trasladada de Dufresne (con la terminología de Salminen-Yor) : $$ int_0^{+infty} frac{mathcal{E}_s^2}{(mathcal{E}_s^2+2 amathcal{E}_s +b)^2} ds,$$ y mostramos que en algunos casos, esta perpetuidad tiene la misma ley que el primer tiempo en el que un proceso de Bessel de dimensión tres con deriva alcanza una cierta barrera. Estudiamos también la ley del par de anualidades siguientes $$left(int_0^{t}left(mathcal{E}_s-1 right)^+ ds , quad int_0^{t}left(mathcal{E}_s-1 right)^-ds right)$$ con un teorema de Feynman-Kac, y discutimos algunos casos en los cuales podemos recuperar la ley de la perpetuidad asociada.